DENGE VE DENGE ŞARTLARI

Cambazın ip üzerinde durmasını sağlayan durumların neler olduğunu söyleyebilir misiniz ?

Cambazın elindeki sırığı kullanmasının amacı nedir ?

ETKİNLİK

Arkadaşlarınız arasında 3 'er kişilik gruplar oluşturunuz.

Simülasyon

1. Simülasyonda bulunan oyunumuzu oynayarak cisimlerin dengede kalmasını sağlayınız.
2. Cisimlerin dengede kalma koşulları nelere bağlıdır ?
3. Cisimlerin dengede kalmasında ağırlıkları ve konumlarını formülize etmek isteseniz nasıl edersiniz ?
4. Bulduğunuz sonuçları grup arkadaşlarınızla tartışınız.

 

DENGE VE DENGE KOŞULLARI

      Şekilde ki gibi zemin üzerinde duran bir cisim, zemine ağırlığı kadar bir etki yapar. Cismin dengede kalabilmesi için zeminin de cismin ağırlığına eşit ve zıt yönlü bir kuvvet uygulaması gerekir. Buna aynı zamanda etki-tepki prensibi denir.

   Bir cismin dengede kalabilmesi için cisim üzerine uygulanan kuvvetlerden dengelenmemiş kuvvet kalmaması gerekir.

Şekilde F1 ve F2 kuvvetlerin etkisinde kalan cismin dengelenebilmesi için, bileşke kuvvete eşit büyüklükte, bileşkenin uygulama noktasına uygulanan ve zıt yönlü olan kuvvete dengeleyici kuvvet denir.

Bir cismin dengede olması için, durması, sabit hızla doğrusal hareket ya da sabit hızla dönme hareketi yapması gerekir.

   Cisim bir kuvvetin etkisinde iken duruyorsa, yani öteleme ve dönme hare-keti yapmıyorsa statik dengede demektir. Cismin statik dengede olması için iki şartın sağlanması gerekir.

Dengenin 1. şartı:

  Cismin öteleme hareketi yapmaması için cisme uygulanan bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfır olmalıdır.

Olmalıdır.

(Σ : Bu sembol toplam sembolüdür)

   Ayrıca x ekseni doğrultusundaki kuvvetlerin bileşkesi ve y ekseni doğrultusundaki kuvvetlerin bileşkesi ayrı ayrı sıfır olmalıdır.

Olmalıdır.

Dengenin 2. şartı:

   Dengenin 1. şartının sağlanması cismin her zaman dengede kalması anlamına gelmez. Örneğin kuvvet çiftinde;

 dır . Fakat toplam moment sıfır olmadığı için cisim dönme hareketi yapar.             Cismin dönmeden dengede kalabilmesi için, cisim üzerine etki eden kuvvetlerin dönme noktasına ya da dönme eksenine göre toplam momentinin sıfır olması gerekir.

Olmalıdır.

  Toplam momentin sıfır olması demek, herhangi bir yönde döndürmek isteyen kuvvetlerin momentleri toplamı, ters yönde döndürmek isteyen kuvvetlerin momentleri toplamına eşit olması demektir.

Cismin statik olarak dengede kalabilmesi için yukarıda belirtilen iki şartın sağlanması gerekir.

1.Kesişen Kuvvetlerin Dengesi

   Doğrultuları birbirini kesen kuvvetlere kesişen kuvvetler denir. Şekildeki cisim kesişen üç kuvvetin etkisinde dengede ise, herhangi iki kuvvetin bileşkesi ters yöndeki üçüncü kuvvete eşit büyüklükte ve zıt yöndedir.

Şekildeki üç kuvvetin bileşkesi sıfır ise,

dır.

Lami Teoremi

  Kesişen üç kuvvet dengede ise kuvvetlerin, karşılarındaki açıların sinüslerine oranı sabittir.

Buna göre,

  Bu bağıntıya göre, kesişen üç kuvvet dengede ise, küçük açının karşısındaki kuvvet büyük, büyük açının karşısındaki kuvvet ise küçüktür.

Örneğin; 

ise   olmalıdır.

a1 = a2 ise, F1 = F2 dir.

   Şekildeki ip iki ucundan eşit büyüklükteki F kuvvetleri ile çekilirse, ipteki gerilme kuvveti yine F olur. Ayrıca ipin bütün noktalarındaki gerilme kuvveti aynı değerdedir.

  Şekilde birbirlerine iple bağlı G ağırlığındaki X ve Y cisimleri dengede iken, dengenin şartına göre T = G dir. Aynı ipin bütün noktalarındaki gerilme kuvvetleri eşit olur. Dolayısıyla ipin iki ucu aynı kuvvetle çekildiğinde ipteki gerilme kuvveti, kuvvetlerden birinin değerine eşittir.

  Şekilde, kap içinde sıkışmış özdeş ve türdeş G ağırlıklı iki küreye uygulanan tepki kuvvetleri görülmektedir. Tepki kuvveti daima teğet olan yüzeye dik olarak uygulanır. Dengenin şartına göre,   olduğundan F1 ve F2 düşey duvarların tepki kuvvetleri birbirine büyüklükçe eşittir (|F1| = |F2|)

dan, aşağı doğru olan kürelerin ağırlıkları toplamı, yatay zeminin tepki kuvveti N ye büyüklükçe eşittir. Yani N = 2G dir.

   

ÖRNEK:

  20 N ve 30 N ağırlığındaki cisimler iplerle şekil-1 ve şekil-2 deki gibi asıldığında dengede kalıyor. Buna göre iplerde oluşan T1 ve T2 gerilme kuvvetlerinin T1 / T2 oranı kaçtır ?

ÇÖZÜM :

 

   Kesişen üç kuvvet dengede ise, herhangi iki kuvvetin bileşkesi ters yöndeki üçüncü kuvvette büyüklükçe eşittir. Ayrıca ipler ile tavan arasındaki açılar eşit ise, her iki ipteki gerilme kuvvetleri eşittir. Şekil - 1 de T1 kuvvetleri arasındaki açı eşit olduğundan iki kuvvetin bileşkesitür.

Dengenin şartına göre, aşağı yönlü toplam kuvvet, yukarı yönlü toplam kuvvete eşittir.

   Şekil - II de T2 gerilme kuvvetle arasındaki açı  olduğunda, bu iki kuvvetin bileşkesi birinin b büyüklüğüne eşittir.

Dengenin şartından,

       T2 = P2 = 30 N  olur.

Buna göre,

olur. 

2.Momentlerin Dengesi

   Bir cisim üzerine etki eden kuvvetlerin herhangi bir nokta veya dönme eksenine göre momentlerinin cebirsel toplam› sıfır olmalıdır.  Bu şart;   olarak ifade edilir.

Ancak sorularda, bilinmeyen kuvvetlerin sayısını azaltmak için genellikle dönme noktası ya da dönme eksenine göre moment alınır. 

Şekilde O noktasından geçen dik eksen etrafında dönebilen 25 N ağırlığındaki çubuk yatay olarak dengede ise, ipteki T gerilme kuvveti moment dengesinden bulunabilir.

   Çubuk dengede ise, istenilen noktaya göre moment alınarak toplam moment bulunabilir. Fakat ipteki T gerilme kuvveti sorulduğu için O noktasına göre moment almak daha uygundur. Eğer duvarın F tepki kuvveti sorulsa idi, bu durumda da ipin bağlandığı noktaya göre toplam momenti bulmak uygun olurdu.

Çubuk dengede olduğuna göre, (+) yöndeki momentler toplamı (-) yöndeki momentler toplamına eşit büyüklükte olmalıdır.

1.      Paralel ve Aynı Yönlü İki Kuvvetin Bileşkesi

     Şekilde görüldüğü gibi, paralel ve aynı A 0 yönlü F1 ve F2 kuvvetinin bileşkesi büyük kuvvete daha yakın olan O noktasındadır.

Bileşke kuvvetin büyüklüğü,    değerine eşittir.

Bileşke kuvvet, kuvvetlere paralel ve aynı yönlüdür. Bileşke kuvvetin uygulama noktası olan O noktasının yeri moment eşitliği olan formülünden bulunur.

2.      Paralel ve Zıt Yönlü İki Kuvvetin Bileşkesi

  Şekildeki gibi, birbirlerine paralel olan ve A, B noktalarına uygulanan zıt yönlü iki kuvvetin bileşkesi  A - B noktaları arasında olamaz. F2 < F1 ise bileşke kuvvet büyük kuvvetin dışındaki O noktasındadır.

Bileşkenin büyüklüğü, R = F1 - F2 değerine eşittir.

Bileşke kuvvet, kuvvetlere paralel ve büyük kuvvet yönündedir. Bileşke kuvvetin uygulama noktası, moment eşitliği olanden bulunur.

  Merdiven ve üzerindeki boyaca dengede olduğuna göre, toplam kuvvet sıfırdır.

Yani;

ÖRNEK:

  Şekildeki ağırlığı önemsiz eşit bölmeli çubuğa 2P, P ve 3P ağırlığındaki cisimler asılmıştır.

Çubuk nereden asılırsa yatay olarak dengede kalır ?

A) L den   B) M den   C) L - M arasından  D) M - N arasından  E) N den      

ÇÖZÜM :

  Çubuk verilen üç paralel kuvvetin bileşkesinin uygulama noktasından asılırsa yatay olarak dengede kalır. Önce bu noktanın yeri bulunmalıdır. İlk önce herhangi iki kuvvetin bileşkesi bulunur. Daha sonra bu bileşke ile üçüncü kuvvetin bileşkesi bulunur. Buna göre 2P ve P ağırlık kuvvetlerinin bileşkesi moment eşitliğinden K da olur. Bu bileşke 3P dir. Üçüncü kuvvette 3P olduğundan bileşke kuvvet aralarındaki mesafenin tam ortasında, yani M - N arasında olur. O halde çubuk M - N arasından asılırsa yatay olarak dengede kalır. 

                                                                                            CEVAP : D

ÖRNEK : 

  Ağırlığı 12 N olan eşit bölmeli düzgün ve eşit bölmeli çubuk şekildeki gibi dengededir.

İpte oluşan gerilme kuvveti T olduğuna göre T kaç N dur ?

A) 6   B) 8   C) 10   D) 12   E) 24

ÇÖZÜM : 

  Düzenek dengede olduğuna göre, herhangi bir noktaya göre moment alınabilir. Bu soruda ipteki T gerilme kuvveti ile, menteşenin F tepki kuvveti bilinmiyor. Soruyu tek denklemde çözebilmek için, istenmeyen kuvvetin olduğu noktaya göre moment alınır. Buna göre duvarın tepki kuvveti olan F yi denklemden çıkarmak için A noktasına göre moment alınır. T ve 12 N luk kuvvetler çubuğu zıt yönlerde döndürmek ister. Düzenek dengede olduğundan A noktasına göre momentleri eşit büyüklüktedir.

T . 2 = 12 . 4  

T  = 24 N olur.

  Eğer F duvarın tepki kuvveti sorulsa idi, ipin bağlı olduğu noktaya göre momentleri alınırdı. Ayrıca ipteki T gerilme kuvveti çubuğun ağırlığından büyük olduğu için menteşenin tepkisi olan F kuvveti aşağı yönlü olmalıdır. Yine dengenin şartından 

T = F + P  dir.

                                                                                         CEVAP : E